ما مدى سرعة انتشار فيروس كورونا ؟ دعونا نفعل الرياضيات

ما مدى انتشار جائحة Covid-19 وبأي سرعة؟ هذا السؤال يدور في أذهان الجميع ، وهو شيء ليس لدى معظمنا حدس جيد له. تكمن المشكلة في أن أدمغتنا البشرية تميل إلى الاستقراء في خط مستقيم من التجربة الأخيرة ، ولكن الأمراض المعدية تنتشر بشكل كبير.

يوم الاثنين 15 مارس ، كان لدى الولايات المتحدة حوالي 4000 حالة مؤكدة. ربما قلتم ، هذا جزء صغير من سكان البلاد. ما كل هذه الضجة؟ بحلول يوم الأربعاء نما إلى حوالي 8000. لذا قد تعتقد أن الإجمالي سيرتفع بمقدار 4000 كل يومين. سيكون ذلك خطأ. هذا تفكير خطي. إنه أسوأ بكثير من ذلك.

مع النمو الأسي ، يزداد عدد الحالات الجديدة كل يوم باستمرار - الرسم البياني الإجمالي مع مرور الوقت ، وسترى أن الخط ينحني لأعلى - وهذا يمكن أن يوصلك إلى أعداد كبيرة بسرعة كبيرة. ما تحتاج إلى النظر إليه هو زيادة النسبة المئوية. في هذه الحالة ، تضاعف (زيادة بنسبة 100 في المائة) في يومين. وبهذا المعدل ، سينمو من 8000 يوم الأربعاء إلى 16000 يوم الجمعة. ثم 32000 ...

الآن ، لا أقترح أن معدل العدوى مرتفع حقًا. تعكس الزيادات التي نراها الآن جزئياً حقيقة أن المزيد من الأشخاص يخضعون للاختبار - من الواضح أن هناك عددًا أكبر من الأشخاص المصابين بالفعل مما نعرفه ، وربما أكثر بكثير. ولكن لفهم الديناميكية الأساسية لانتشار الفيروس ، دعونا نبقيه بسيطًا.

ربما يمنحك هذا المثل الشعبي شعوراً بالنمو الأسي: تريد طفل زيادة مخصصها ، وتقترح صفقة غير عادية: يدفعها والداها يوميًا ، والمبلغ هو سنت واحد فقط اليوم. ثم تزيد: سنتان في اليوم التالي ، 4 سنتات في اليوم التالي - تحصل على الفكرة. تغيير صغير ، أليس كذلك؟ حسنًا ، نفذها وستجد أنها في يوم 30 مدينون لها بأكثر من 10 ملايين دولار.

كما عرفت لأقول ، أنت لا تفهم شيئًا حقًا حتى تتمكن من تصميمه. إذن كيف يمكنك نمذجة انتشار عدوى فيروسية؟ ولماذا يطلق عليه النمو الأسي على أي حال؟

نموذج بسيط للنمو الأسي

لنبدأ ببعض الأساسيات. لنفترض أن لدينا عددًا من السكان ، وأن عددًا معينًا (N) منهم يحملون فيروس Covid-19. لكل شخص مصاب ، هناك احتمال أن ينقلوه للآخرين. يختلف الاحتمال من شخص لآخر ، ولكن بشكل عام ، لنفترض أن عدد المصابين سيزداد بنسبة 20 بالمائة في اليوم التالي. هذا معدل إصابة يومي يبلغ 0.20.

لاحظ ما يعنيه ذلك: كلما زادت N ، زاد عدد الإصابات الجديدة (𝚫N) كل يوم باستمرار. عندما يكون N 1000 ، سيكون هناك 200 حالة جديدة في اليوم التالي. عندما يكون N 10000 ، سيكون هناك 2000 حالة جديدة في اليوم التالي.

بشكل عام ، يمكننا كتابة هذا على النحو التالي ، حيث يكون معدل الإصابة هو و 𝚫t هو التغير في الوقت (يقاس بالأيام):

يمكنك التفكير في معدل الإصابة (𝚫N / 𝚫t) مثل السرعة - لأنها نوعًا ما. لكن إليكم الجزء المجنون: هذا يشبه سيارة تتحرك ، لكن السرعة تعتمد على مكانها. كلما ذهبت أبعد ، كلما كانت أسرع. في هذا القياس ، المسافة المقطوعة مثل عدد الأشخاص المصابين.



يمكنك الحصول على صيغة N كدالة للوقت تحليليًا (باستخدام المعادلات التفاضلية) ، لكن لنحلها عدديًا أولاً. أوه ، الحساب العددي هو المكان الذي تقوم فيه بتقسيم المشكلة إلى خطوات زمنية صغيرة. في كل خطوة ، سوف أحسب عدد الأشخاص المصابين ومن ثم احسب عدد اليوم التالي. باستخدام صيغة معدل التغيير أعلاه ، أحصل على تعبير التحديث المصاب التالي:

فقط لتوضيح الأمر هنا ، Ni هو اليوم الأول و Ni + 1 هو اليوم التالي. هذا منطقي ، أليس كذلك؟ والباقي واضح إلى حد ما. الأمر بسيط للغاية حتى أن الكمبيوتر يمكنه القيام بذلك. (أنا أحب هذه النكتة). لذا افترض أنك تتحدث عن بلدة صغيرة من 10000 شخص ، مع شخص مصاب في اليوم صفر (N0 = 1).



ترى المشكلة ، أليس كذلك؟ لمدة 30 يومًا ، تبدو المخاطر على الآخرين صغيرة ، ولا أحد يتبع نصيحة مراكز مكافحة الأمراض والوقاية منها بالبقاء في المنزل. ثم فجأة ، بدون تغيير في معدل الإصابة ، ينفجر. هذا نمو أسي لك: الوضع جيد حتى لا يكون ، وبعد ذلك فات الأوان.

بالمناسبة ، يتم إنشاء هذا الرسم البياني بواسطة نص Python بسيط ، ويمكنك تغيير الأرقام لمعرفة ما يحدث. انقر على رمز القلم الرصاص للتعديل ، واضغط على زر التشغيل لإعادة تشغيله.

خفض معدل العدوى يحدث فرقا كبيرا

لذا فهذه دالة أسية. في الواقع ، إذا كنت تأخذ معادلة المعدل أعلاه وتقلص الفترة الزمنية إلى قيمة صغيرة للغاية (أي باستخدام حساب التفاضل) ، فستحصل على معادلة تفاضلية. حل هذه المعادلة يعطي ما يلي:

هذا يعني أن عدد الأشخاص المصابين (N) يعتمد على رقم البداية (N0) و e (الرقم الطبيعي) المرفوع إلى منتج a و t. لهذا السبب يطلق عليه النمو الأسي - متغير القيادة ، الوقت ، في الأس.

في نموذجنا البسيط ، تزداد الأمور سوءًا إلى الأبد. لكن ذلك ينتج عن افتراضين ضمنيين: الأول ، أن معدل الإصابة يبقى ثابتًا ، والثاني ، أنه لا أحد يتعافى ويتوقف عن العدوى. لحسن الحظ ، هذا ليس صحيحا ، أو أن كل شخص في العالم سيكون مريضا في وقت قصير جدا. لا يزال هذا النموذج دقيقًا جدًا في المراحل المبكرة من الوباء.

ولكن هنا الجزء المهم. ماذا لو استطعت تقليل معدل الإصابة قليلاً؟ ماذا لو كان معدل الإصابة 0.19 بدلاً من 0.20؟ إليك مقارنة على مدار 45 يومًا:

هذا فرق 2645 شخص في اليوم 45. مع النمو الهائل ، كل القليل يساعد. المعنوي هنا هو أن الجهود الفردية - خاصةً في وقت مبكر ، عندما لا يبدو أنها مهمة - حقًا ، مهمة حقًا. أنت ، لوحدك ، يمكن أن تكون بطلاً وتنقذ الأرواح. نعم ، بغسل يديك وممارسة إبعاد اجتماعي آمن. مقارنة البيانات الفعلية ولكن ماذا عن البيانات الحقيقية؟ هل يتبع عدد المصابين بالفعل دالة أسية؟ ما هو عامل معدل الإصابة الحقيقي؟ يمكنك الحصول على جميع أنواع البيانات عبر الإنترنت - أستخدم أرقام فيروسات التاجية من عالمنا في البيانات. إليك ما يبدو عليه ذلك:

لذا ، كيف يمكنك معرفة ما إذا كان هناك شيء أسي؟ يمكنك استخدام جهاز كمبيوتر لملاءمة دالة أسية للبيانات وقياس مدى ملاءمتها. ولكن ماذا عن تحويل دالة أسية إلى دالة خطية؟ إذا أخذت دالة النمو الأسية الخاصة بي أعلاه وقسمت كلا الجانبين على N0 ، فقم بأخذ السجل الطبيعي (ln) لكلا الجانبين ، أحصل على هذا التعبير المكافئ:

السجل الطبيعي هو مجرد عكس الدالة الأسية ، لذلك يجعل e يختفي ، تاركًا دالة خطية بسيطة على الجانب الأيمن: a × t. (لا يمكنك أخذ سجل شيء بالوحدات - ولهذا السبب يجب عليك أولاً تقسيم كلا الجانبين على N0 لإنشاء كمية بدون وحدة.)

الآن لدينا شيء جميل. إذا أخذت السجل الطبيعي للبيانات الفعلية لعدد الإصابات (مقسومًا على العدد الأولي) ، فيجب أن يكون هذا العدد متناسبًا مع الوقت. يجب أن تكون دالة خطية. إليك تلك المؤامرة:

لاحظ أن أجزاء فقط من البيانات لها نوبات خطية ، عادة في الواجهة الأمامية. كما قلت ، إذا بقيت العدوى أسيًا ، فسيكون العالم كله مريضًا قريبًا. لكن يكفي الحصول على بعض النتائج المفيدة. أولاً ، بما أن جزءًا من المؤامرة خطي ، فهذا يعني أنه نمو أسي بالفعل. ثانيًا ، يمكنني الحصول على قيمة لثابت المعدل (أ) من هذه البيانات. أوه ، بالنسبة لكل من إيطاليا وإيران ، يبدو أن هناك معدلين مختلفين للإصابة لا يزالان أسيين. إليك ما أحصل عليه لكل بلد:

الصين = 0.394

إيران 1 = 0.445

إيران 2 = 0.117

إيطاليا 1 = 0.401

إيطاليا 2 = 0.196

كوريا الجنوبية = 0.614

فرنسا = 0.286

الولايات المتحدة الأمريكية = 0.288

ما يخبرنا هذا الكلام؟

وتقول أنه لفترة من الوقت ، كانت كوريا الجنوبية خارجة عن السيطرة بالفعل بمعدل إصابة يبلغ 0.614. لحسن الحظ ، استمر ذلك حوالي خمسة أيام فقط ، ثم توقف عن كونه أسيًا. شهدت كل من إيران وإيطاليا انخفاضات كبيرة في المعدلات. لست متأكدًا مما إذا كان ذلك بسبب بعض التدابير التي اتخذوها أو إذا كان هناك عدد أقل من الأشخاص المتاحين للإصابة بالفيروس. أخيرًا ، يبدو أن الولايات المتحدة وفرنسا في وضع مشابه ، لكن فرنسا تتقدم بضعة أيام فقط.